Question

已知函數和點P(1，0)，過點P作曲線y＝f(x)的兩條切線PM、PN，切點分別為M、N．

(Ⅰ)設｜MN｜＝g(t)，試求函數g(t)的表達式；

(Ⅱ)是否存在t，使得M、N與A(0，1)三點共線．若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

(Ⅲ)在(Ⅰ)的條件下，若對任意的正整數n，在區間內總存在m＋1個實數a₁，a₂，…，a_m，a_m＋1，使得不等式g(a₁)＋g(a₂)＋…＋g(a_m)＜g(a_m+1)成立，求m的最大值．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)設、兩點的橫坐標分別為、， 　　，∴切線的方程為：， 　　又切線過點，∴有， 　　即，　　　　(1)　　2分 　　同理，由切線也過點，得．　　　　(2) 　　由(1)、(2)，可得是方程的兩根， 　　　　4分 　　 　　， 　　把(*)式代入，得， 　　因此，函數的表達式為．　　5分 　　(Ⅱ)當點、與共線時，，∴＝， 　　即＝，化簡，得， 　　，．………………(3)……………7分 　　把(*)式代入(3)，解得． 　　存在，使得點、與三點共線，且．……………………9分 　　(Ⅲ)解法：易知在區間上為增函數， 　　， 　　則． 　　依題意，不等式對一切的正整數恒成立，…………11分 　　， 　　即對一切的正整數恒成立，． 　　，， 　　． 　　由于為正整數，．……………………………13分 　　又當時，存在，，對所有的滿足條件． 　　因此，的最大值為．……………………………14分 　　解法：依題意，當區間的長度最小時，得到的最大值，即是所求值． 　　，∴長度最小的區間為，　　11分 　　當時，與解法相同分析，得， 　　解得．　　　　13分