Question

已知函數和點P(1，0)，過點P作曲線y＝f(x)的兩條切線PM、PN，切點分別為M、N．

(1)設，試求函數g(t)的表達式；

(2)是否存在t，使得M、N與A(0，1)三點共線．若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

(3)在(1)的條件下，若對任意的正整數n，在區間內總存在m+1個實數，使得不等式成立，求m的最大值．

Answer 1

解：（1）設M、N兩點的橫坐標分別為，

        ∵，∴切線PM的方程為：

        又∵切線PM過點P（1，0），∴有0－

        即，     ①

        同理，由切線PN也過點P（1，0），∴     ②

        由①、②，可得是方程的兩根，

        ∴    ③

        ，

把③式代入，得

由此，函數g(t)的表達式為.

(2)當點M、N與A共線時，

即，化簡，得

∵     ④

把③式代入④，解得t=.

∴存在t，使得點M、N與A三點共線，且t=.

(3)解法1：易知g(t)在區間上為增函數，

 ∴

則.

依題意，不等式對一切的正整數n恒成立.

∵

∴.

由于m為正整數，∴

又當時，存在，對所有的n滿足條件.

因此，m的最大值為6.

解法2：依題意，當區間的長度最小時，得到的m最大值，即是所求值.

∵，∴長度最小的區間為[2,16],

當時，與解法1相同分析，得

解得   

后面解題步驟與解法1相同（略）