Question

設f（x）是連續的偶函數，且當x＞0時，f（x）是單調函數，則滿足f(x)=f(1-

1

x+2

)的所有x之和為

-4

．

Answer 1

分析：由f（x）為偶函數得f（-x）=f（x），由x＞0時f（x）是單調函數推出f（x）不是周期函數．所以，若f（a）=f（b）則有a=b或a=-b．由此求得滿足f(x)=f(1-

1

x+2

)的所有x之和．

解答：解：：∵f（x）為偶函數，且當x＞0時f（x）是單調函數，
∴若f（x）=f(1-

1

x+2

)，即 f（x）=f（

x+1

x+2

），
則有 x=

x+1

x+2

，或 x=-

x+1

x+2

． 
即 x²+x-1=0，或x²+3x+1=0．此時x₁+x₂=-1，x₃+x₄=-3．
故滿足f(x)=f(1-

1

x+2

)的所有x之和為 x₁+x₂ +x₃+x₄=-4，
故答案為-4．

點評：本題主要考查函數的連續性、單調性、奇偶性的應用，得到x=

x+1

x+2

，或 x=-

x+1

x+2

，是解題的關鍵，屬于基礎題．