Question

設f（x）是連續的偶函數，且當x＞0時，f（x）是單調函數，則滿足f(x)=f(

x+2

x-1005

)的所有x之和為（　　）

• A、1006
• B、1005
• C、2011
• D、2010

Answer 1

分析：由已知中f（x）是連續的偶函數，且當x＞0時，f（x）是單調函數，我們易得滿足f(x)=f(

x+2

x-1005

)時，x=

x+2

x-1005

或-x=

x+2

x-1005

，將分式方程轉化為整式方程后，利用韋達定理，易得到答案．

解答：解：∵f（x）是連續的偶函數，且當x＞0時，f（x）是單調函數，
∴當f(x)=f(

x+2

x-1005

)時
x=

x+2

x-1005

或-x=

x+2

x-1005

即x²-1006x-2=0或x²-1004x+2=0
由韋達定理得：
x₁+x₂=1006，x₃+x₄=1004
即滿足f(x)=f(

x+2

x-1005

)的所有x之和為1006+1004=2010
故選D

點評：本題考查的知識點是根的存在性及根的個數判斷，其中根據函數奇偶性及單調性我們判斷出滿足f(x)=f(

x+2

x-1005

)時，x=

x+2

x-1005

或-x=

x+2

x-1005

，是解答本題的關鍵．