Question

11．已知球面上的四點P、A、B、C，PA、PB、PC的長分別為3、4、5，且這三條線段兩兩垂直，則這個球的體積為（　　）

• A． $\frac{{1000\sqrt{2}}}{3}π$
• B． $\frac{{375\sqrt{2}}}{16}π$
• C． 50π
• D． $\frac{{125\sqrt{2}}}{3}π$

Answer 1

分析 由題意知球面上的四點P、A、B、C是長方體的一個角，擴展為長方體，長方體的對角線就是外接球的直徑，求出直徑即求出外接球的體積．

解答 解：球面上的四點P、A、B、C，又PA、PB、PC的長分別為3、4、5，且這三條線段兩兩垂直，是長方體的一個角，
擴展為長方體，兩者的外接球相同，長方體的對角線長為l=$\sqrt{9+16+25}$=5$\sqrt{2}$，外接球的半徑為R=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$；
∴球的體積為：V=$\frac{4}{3}π{R}^{3}$=$\frac{125\sqrt{2}}{3}π$．
故選D．

點評 本題考查了四面體的外接球體積的求法問題，解題時把四面體擴展為長方體，長方體的對角線就是球的直徑．