Question

12．已知集合A={x∈R|ax²-2x+1=0}
（1）若集合A中只有一個元素，用列舉法寫出集合A；
（2）若集合A中至多只有一個元素，求出實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）用描述法表示的集合元素個數問題，用到一元方程解的個數，用判別式與零的關系，當方程有一個解時，判別式等于零．
（2）A中至多只有一個元素包含只有一個根或無根，只有一個根包含兩種情況：一次方程或二次方程只有一個根，二次方程根的個數通過判別式為0；無根時，判別式小于0，解得．

解答 解：（1）當a=0時，A={$\frac{1}{2}$}；
當a≠0時，若集合A只有一個元素，由一元二次方程判別式
△=4-4a=0得a=1．此時A={1}
綜上，當a=0時，A={$\frac{1}{2}$}．
當a=1時，A={1}；
（2）∵A中至多只有一個元素，∴A中只有一個元素，或A=∅．
若A中只有一個元素，則當a=0時，A={x|-2x+1=0}={$\frac{1}{2}$}，符合條件；
當a≠0時，方程ax²-2x+1=0為一元二次方程，要使A中只有一個元素，
則方程ax²-2x+1=0只有一個實數解，所以△=4-4a=0⇒a=1．
所以，a的值為0或1．
若A=∅，則方程ax²-2x+1=0無實數解，所以△=4-4a＜0⇒a＞1．
所以，a≥1或a=0．

點評 本題考查了集合的表示法．解題時容易漏掉a≠0的情況，當方程，不等式，函數最高次項系數帶有參數時，要根據情況進行討論．