Question

如圖，四邊形ABCD是邊長為1的正方形，延長CD至E，使得DE=2CD．動點P從點A出發，沿正方形的邊按逆時針方向運動一周回到A點，

AP

=λ

AB

+μ

AE

．則λ-μ的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點：平面向量的基本定理及其意義

專題：平面向量及應用

分析：設正方形的邊長為1，建立如圖所示的坐標系，利用坐標法即可得到結論．

解答： 解：建立如圖所示的坐標系，設正方形的邊長為1，
則B（1，0），E（-2，1），
∵

AP

=λ

AB

+μ

AE

=λ（1，0）+μ（-2，1）=（λ-2μ，μ）．
當P∈AB時，有0≤λ-2μ≤1，μ=0，
可得0≤λ≤1，
故有0≤λ-μ≤1；
當P∈BC時，有λ-2μ=1，0≤μ≤1，
∴0≤λ-μ≤2；
當P∈CD時，有0≤λ-2μ≤1，μ=1，
∴1≤λ-μ≤2；
當P∈AD時，有λ-2μ=0，0≤μ≤1，∴0≤λ-μ≤1．
綜上可得：0≤λ-μ≤2．
故答案為：[0，2]

點評：本題考查了向量的坐標運算、不等式的性質，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．