Question

如圖，直線l：y=x+b與拋物線C：x²=4y相切于點A．
（Ⅰ）求實數b的值；
（Ⅱ）求點A到拋物線C的準線的距離．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系

專題：計算題,導數的概念及應用,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（Ⅰ）由題意，在點A處x²=4y的導數與直線l的斜率相等，從而求實數b的值；
（Ⅱ）寫出拋物線C的準線為y=-1，從而寫出點A到拋物線C的準線的距離為2．

解答： 解：（Ⅰ）由題意，
x²=4y可化為y=

1

4

x²，
故y′=

1

2

x，
令y′=

1

2

x=1，解得，x=2，
故切點A坐標為（2，1），
故由1=2+b得，b=-1；
（Ⅱ）拋物線C的準線為y=-1，
則點A到拋物線C的準線的距離為2．

點評：本是考查了導數的幾何意義及應用，同時考查了拋物線C的準線，屬于中檔題．