Question

若函數y=x³-

3

2

x²+a在[-1，1]上有最大值3，則該函數在[-1，1]上的最小值是

 

．

Answer 1

分析：本題是典型的利用函數的導數求最值的問題，只需要利用已知函數的最大值為3，進而求出常數a的值，即可求出函數的最小值．

解答：解：由已知，f′（x）=3x²-3x，有3x²-3x≥0得x≥1或x≤0，
因此當x∈[1，+∞），（-∞，0]時f（x）為增函數，在x∈[0，1]時f（x）為減函數，
又因為x∈[-1，1]，
所以得當x∈[-1，0]時f（x）為增函數，在x∈[0，1]時f（x）為減函數，
所以f（x）_max=f（0）=a=3，故有f（x）=x³-

3

2

x²+3
所以f（-1）=

1

2

，f（1）=

5

2

因為f（-1）=

1

2

＜f（1）=

5

2

，所以函數f（x）的最小值為f（-1）=

1

2

．
故答案為：

1

2

．

點評：本題考查了利用導數求閉區間上函數的最值，求函數在閉區間[a，b]上的最大值與最小值是通過比較函數在（a，b）內所有極值與端點函數f（a），f（b） 比較而得到的，屬于基礎題．