Question

10．袋中裝有黑球和白球共7個，從中任取2個球都是白球的概率為$\frac{1}{7}$，現有甲、乙兩人從袋中輪流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取，…，取后不放回，直到兩人中有一人取到白球時即終止，在每一次摸球時袋中每個球被取出的機會是等可能的，用ξ表示取球終止所需要的取球次數．
（1）求甲取到白球的概率；
（2）求隨機變量ξ的概率分布及均值．

Answer 1

分析 （1）利用組合數公式計算白球個數，再對甲取球次數進行討論計算概率；
（2）利用條件概率公式計算ξ的分布列，得出均值．

解答 解：（1）設袋中原有n個白球，由題意知，$\frac{{C}_{n}^{2}}{{C}_{7}^{2}}$=$\frac{1}{7}$，即$\frac{n（n-1）}{42}$=$\frac{1}{7}$，
∴n（n-1）=6，解得n=3或n=-2（舍去），即袋中原有3個白球．
記“甲取到白球”為事件A，
則P（A）=$\frac{3}{7}$+$\frac{4}{7}×\frac{3}{6}×\frac{3}{5}$+$\frac{4}{7}×\frac{3}{6}×\frac{2}{5}×\frac{1}{4}$×$\frac{3}{3}$=$\frac{22}{35}$．
∴甲取到白球的概率為$\frac{22}{35}$．
（2）ξ的可能取值為1，2，3，4，5，
P（ξ=1）=$\frac{3}{7}$，P（ξ=2）=$\frac{4}{7}×\frac{3}{6}$=$\frac{2}{7}$，P（ξ=3）=$\frac{4}{7}×\frac{3}{6}×\frac{3}{5}$=$\frac{6}{35}$，
P（ξ=4）=$\frac{4}{7}×\frac{3}{6}×\frac{2}{5}×\frac{3}{4}$=$\frac{3}{35}$，P（ξ=5）=$\frac{4}{7}×\frac{3}{6}×\frac{2}{5}×\frac{1}{4}×\frac{3}{3}$=$\frac{1}{35}$．
∴ξ的分布列為：

ξ	1	2	3	4	5
P	$\frac{3}{7}$	$\frac{2}{7}$	$\frac{6}{35}$	$\frac{3}{35}$	$\frac{1}{35}$

∴E（ξ）=1×$\frac{3}{7}$+2×$\frac{2}{7}$+3×$\frac{6}{35}$+4×$\frac{3}{35}$+5×$\frac{1}{35}$=2．

點評 本題考查了離散型隨機變量的分布列，屬于中檔題．