Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

3

2

，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線x-y+

2

=0相切．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)P（4，0），Q是橢圓C上的點(diǎn)，連接PQ交橢圓C于另一點(diǎn)E，求直線PQ的斜率的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意可得e=

c

a

=

3

2

可得a，c的關(guān)系，然后由圓心到直線x-y+

2

=0的距離d=

2

2

=1=b可求b，結(jié)合a²=b²+c²進(jìn)而可求橢圓方程
（2）由題意可設(shè)直線方程為y=k（x-4），由方程

y=k(x-4) x2 4 +y2=1

可得（1+4k²）x²-32k²x+64k²-4=0，則△=32²k⁴-4（1+4k²）（64k²-4）＞0，解不等式可求

解答：解：（1）由題意可得e=

c

a

=

3

2

即c²=

3

4

a²
∵以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓的方程為與直線x-y+

2

=0相切．
∴圓心到直線x-y+

2

=0的距離d=

2

2

=1=b
∵a²=b²+c²=1+

3a2

4

∴a=2，b=1
∴橢圓C的方程為

x2

4

+y2=1
（2）由題意可得，所求的直線的斜率k一定存在，故可設(shè)直線方程為y=k（x-4）
聯(lián)立方程

y=k(x-4) x2 4 +y2=1

可得（1+4k²）x²-32k²x+64k²-4=0
∴△=32²k⁴-4（1+4k²）（64k²-4）＞0
∴-

3

6

＜k＜

3

6

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用橢圓的性質(zhì)求解橢圓的方程，直線與橢圓的相交關(guān)系的應(yīng)用，處理此類(lèi)問(wèn)題常用的方法是聯(lián)立方程，結(jié)合方程的思想進(jìn)行求解