Question

某次乒乓球比賽的決賽在甲乙兩名選手之間舉行，比賽采用五局三勝制，按以往比賽經驗，甲勝乙的概率為

2

3

．
（1）求比賽三局甲獲勝的概率；
（2）求甲獲勝的概率；
（3）設甲比賽的次數為X，求X的數學期望．

Answer 1

分析：（1）比賽三局甲獲勝的概率是：P₃=

C

3 3

(

2

3

)3=

8

27

．
（2）再求出P₄和P₅，甲獲勝的概率是：P₃+P₄+P₅=

64

81

．
（3）寫出甲比賽次數的分布列，根據分布列求得甲比賽次數的數學期望是 EX．

解答：解：記甲n局獲勝的概率為 P_n，n=3，4，5，
（1）比賽三局甲獲勝的概率是：P₃=

C

3 3

(

2

3

)3=

8

27

；
（2）比賽四局甲獲勝的概率是：P₄=

C

2 3

(

2

3

)3 (

1

3

)=

8

27

；
比賽五局甲獲勝的概率是：P₅=

C

2 4

(

1

3

)2(

2

3

)3=

16

81

；
甲獲勝的概率是：P₃+P₄+P₅=

64

81

．
（3）記乙n局獲勝的概率為 P_n′，n=3，4，5．
P₃′=

C

3 3

(

1

3

)3=

1

27

，P₄′=

C

2 3

(

1

3

)3 (

2

3

)=

2

27

； P₅′=

C

2 4

(

1

3

)3(

2

3

)2=

8

81

；
故甲比賽次數的分布列為：

X	3	4	5
P（X）	P3+P3′	P4+P4′	P5+P5′

所以甲比賽次數的數學期望是：EX=3（

1

27

+

8

27

）+4（

8

27

+

2

27

）+5（

16

81

+

8

81

 ）=

107

27

．

點評：本題考查n次獨立重復試驗恰好發生k次得概率，離散型隨機變量的分布列和數學期望，列出離散型隨機變量的分布列，是解題的難點和關鍵．