Question

已知橢圓C：

x2

16

+

y2

4

=1，過點（2，0）作圓x²+y²=1的切線l交橢圓C于A，B兩點．
（1）求切線l的方程；
（2）求弦AB的長．

Answer 1

分析：（1）設出切線l的點斜式方程：y=k（x-2），由題意原點到直線l的距離等于1，利用點到直線距離公式建立關于k的方程解出k=±

3

3

，可得切線l的方程；
（2）直線l方程與橢圓方程消去y，得到7x²-16x-32=0．設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用根與系數的關系算出|x₁-x₂|=

24 2

7

，再由弦長公式即可算出弦AB的長．

解答：解：（1）設切線l的方程為y=k（x-2），即kx-y-2k=0
∵直線l與圓x²+y²=1相切
∴原點到直線l的距離d=

|-2k|

k2+1

=1，解之得k=±

3

3

∴切線l的方程為y=±

3

3

(x-2)
（2）由y=±

3

3

(x-2)與C：

x2

16

+

y2

4

=1消去y，
得7x²-16x-32=0
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），可得x₁+x₂=

16

7

，x₁x₂=-

32

7

∴|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4 x1x2

=

24 2

7

因此，弦AB的長|AB|=

1+ 1 3

•|x₁-x₂|=

2 3

3

×

24 2

7

=

16 6

7

．

點評：本題給出直線與圓相切，求切線方程并求切線被橢圓截得線段的長．著重考查了直線與圓的位置關系、點到直線的距離公式和弦長公式等知識，屬于中檔題．