Question

坐標系與參數方程 
已知橢圓C：

x2

16

+

y2

9

=1與x正半軸、y正半軸的交點分別為A，B，動點P是橢圓上任一點，求△PAB面積的最大值．

Answer 1

分析：根據橢圓的方程算出A（4，0）、B（0，3），從而得到|AB|=5且直線AB：3x+4y-12=0．設點P（4cosθ，3sinθ），由點到直線的距離公式算出P到直線AB距離為d=

12

5

|

2

sin（θ+

π

4

）-1|，結合三角函數的圖象與性質算出d_max=

2

+1，由此結合三角形面積公式，即可得到△PAB面積的最大值．

解答：解：∵橢圓C方程為：

x2

16

+

y2

9

=1，
∴橢圓與x正半軸交于點A（4，0），與y正半軸的交于點B（0，3），
∵P是橢圓上任一個動點，設點P（4cosθ，3sinθ）（θ∈[0，2π]）
∴點P到直線AB：3x+4y-12=0的距離為
d=

|12cosθ+12sinθ-12|

32+42

=

12

5

|

2

sin（θ+

π

4

）-1|
由此可得：當θ=

5π

4

時，d_max=

12

5

（

2

+1）
∴△PAB面積的最大值為S=

1

2

|AB|×d_max=6（

2

+1）

點評：本題給出橢圓的右頂點為A、上頂點為B，求橢圓上動點P與AB構成三角形的面積最大值，著重考查了橢圓的標準方程、參數方程，點到直線的距離和三角函數的圖象與性質等知識，屬于中檔題．