Question

（2013•保定一模）選修4-4：坐標系與參數方程
已知：直線l的參數方程為

x= 1 2 t y= 3 2 t+1

（t為參數），曲線C的參數方程為

x=2+cosθ y=sinθ

（θ為參數）．
（1）若在極坐標系（與直角坐標系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸）中，點P的極坐標為（4，

π

3

），判斷點P與直線l的位置關系；
（2）設點Q是曲線C上的一個動點，求點Q到直線l的距離的最大值與最小值的差．

Answer 1

分析：（1）把點P的極坐標化為直角坐標，把直線l的參數方程化為直角坐標方程，根據點P的坐標不滿足直線l的方程，可得點P不在直線l上．
（2）把曲線C的方程化為直角坐標方程，求出圓心到直線的距離d的值，根據點Q到直線l的距離的最小值為d-r，最大值為d+r，從而求得點Q到直線l的距離的最大值與最小值的差．

解答：解：（1）把點P的極坐標為（4，

π

3

）化為直角坐標為（2，2

3

），
把直線l的參數方程

x= 1 2 t y= 3 2 t+1

（t為參數），化為直角坐標方程為 y=

3

x+1，
由于點P的坐標不滿足直線l的方程，故點P不在直線l上．
（2）∵點Q是曲線C上的一個動點，曲線C的參數方程為

x=2+cosθ y=sinθ

（θ為參數）．
把曲線C的方程化為直角坐標方程為 （x-2）²+y²=1，表示以C（2，0）為圓心、半徑等于1的圓．
圓心到直線的距離d=

|2 3 -0+1|

3+1

=

3

+

1

2

，
故點Q到直線l的距離的最小值為d-r=

3

-

1

2

，最大值為d+r=

3

+

3

2

，
∴點Q到直線l的距離的最大值與最小值的差為2．

點評：本題主要考查把點的極坐標化為直角坐標，把參數方程化為直角坐標方程，直線和圓的位置關系，點到直線的距離公式的應用，屬于基礎題．