Question

已知橢圓C：

x2

16

+

y2

12

=1的左右焦點分別為F₁、F₂，則在橢圓C上滿足

PF1

•

PF2

=0的點P的個數(shù)有（　　）

A．0

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：根據(jù)題意求出焦點分別為F₁（-2，0）、F₂（2，0）．設(shè)橢圓上點P的坐標(biāo)為（m，n），可得向量

PF1

、

PF2

用m、n表示的坐標(biāo)形式，由

PF1

•

PF2

=0列式化簡得n²=4-m²，根據(jù)點P（m，n）在橢圓C上得

m2

16

+

n2

12

=1，兩式聯(lián)解得出m²=-32，與m²≥0 矛盾，從而得到橢圓上不存在滿足條件的點，由此可得本題的答案．

解答：解：設(shè)橢圓C：

x2

16

+

y2

12

=1上的點P坐標(biāo)為（m，n），
∵a²=16，b²=12，∴c=

a2-b2

=2，
可得焦點分別為F₁（-2，0）、F₂（2，0），
由此可得

PF1

=（-2-m，-n），

PF2

=（2-m，-n），
設(shè)

PF1

•

PF2

=0，得（-2-m）（2-m）+n²=0，化簡得n²=4-m²，…①
又∵點P（m，n）在橢圓C上，∴

m2

16

+

n2

12

=1，化簡得3m²+4n²=48，
再代入①得3m²+4（4-m²）=48，解之得m²=-32，與m²≥0 矛盾．
因此不存在滿足

PF1

•

PF2

=0的點P．
故選：A

點評：本題給出橢圓的焦點分別為F₁、F₂，求橢圓上滿足

PF1

•

PF2

=0的點P的個數(shù)．著重考查了向量數(shù)量積及其運算性質(zhì)、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡單幾何性質(zhì)等知識，屬于中檔題．