Question

2．已知f （x）=sinx+$\sqrt{3}$cosx （x∈R）．
（Ⅰ）求函數f （x）的周期和最大值；
（Ⅱ）若f （A+$\frac{π}{6}$）=$\frac{2}{3}$，求cos2A的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用輔助角公式，化簡函數，即可求函數f （x）的周期和最大值；
（Ⅱ）若f （A+$\frac{π}{6}$）=$\frac{2}{3}$，cosA=$\frac{1}{3}$，利用二倍角公式，即可求cos2A的值．

解答 解：（Ⅰ） f （x）=sinx+$\sqrt{3}$cosx=2sin（x+$\frac{π}{3}$），∴T=2π
x+$\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，即x=2kπ+$\frac{π}{6}$（k∈Z），f （x）的最大值為2．
（Ⅱ）f （A+$\frac{π}{6}$）=2sin（A+$\frac{π}{2}$）=2cosA=$\frac{2}{3}$，∴cosA=$\frac{1}{3}$，
∴cos2A=2cos²A-1=-$\frac{7}{9}$．

點評 本題考查三角函數的圖象與性質，考查二倍角公式，正確化簡函數是關鍵．