Question

18．定義在R上的函數f（x）滿足：
①f（x-$\frac{3}{4}$）是奇函數；
②對任意的實數x都有f（x）+f（x+$\frac{3}{2}$）=0；
③f（$\frac{1}{2}$）=-2，f（0）=-4，
則f（1）+f（2）+…+f（2014）=（　　）

• A． -1
• B． 0
• C． 2
• D． 4

Answer 1

分析 由已知中定義在R上的函數f（x）的圖象關于點（-$\frac{3}{4}$，0）成中心對稱，對任意實數x都有f（x）=-f（x+$\frac{3}{2}$），我們易判斷出函數f（x）是周期為3的周期函數，進而由f（$\frac{1}{2}$）=-2，f（0）=-4，我們求出一個周期內函數的值，進而利用分組求和法，得到答案．

解答 解：∵f（x）+f（x+$\frac{3}{2}$）=0，
∴f（x+$\frac{3}{2}$）=-f（x），
則f（x+3）=-f（x+$\frac{3}{2}$）=f（x），
所以f（x）是周期為3的周期函數，
則f（2）=-f（$\frac{1}{2}$）=2，
∵函數f（x）的圖象關于點（-$\frac{3}{4}$，0）成中心對稱，
∴f（1）=-f（-$\frac{5}{2}$）=-f（$\frac{1}{2}$）=2，
∵f（0）=-4，
∴f（1）+f（2）+f（3）=2+2-4=0，
∴f（1）+f（2）+…+f（2014）=f（1）=2，
故選：C．

點評 本題考查的知識點是函數的周期性，其中根據已知中對任意實數x都有f（x）=-f（x+$\frac{3}{2}$），判斷出函數的周期性，是解答本題的關鍵，屬于中檔題．