Question

已知中心在坐標軸原點O的橢圓C經過點A（1，），且點F（-1，0）為其左焦點．
（Ⅰ）求橢圓C的離心率；
（Ⅱ）試判斷以AF為直徑的圓與以橢圓長軸為直徑的圓的位置關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由橢圓C經過點A（1，），且點F（-1，0）為其左焦點，知，由此能求出橢圓的離心率．
（2）以橢圓長軸為直徑的圓的方程為x²+y²=4，以AF為直徑的圓的方程為，由此能推導出以AF為直徑的圓與以橢圓長軸為直徑的圓相內切．
解答：解：（1）依題意，設橢圓C的方程為，
∵橢圓C經過點A（1，），且點F（-1，0）為其左焦點，
∴橢圓的右焦點為F‘（1，0），
∴，|AF′|=，
∴，
∴a=2．c=1，
所以，離心率．（6分）
（2）由已知得，以橢圓長軸為直徑的圓的方程為x²+y²=4，
圓心坐標為（0，0），半徑為2，（8分）
以AF為直徑的圓的方程為，
圓心坐標為（0，），半徑為，（10分）
由于兩圓心之間的距離為，
故以AF為直徑的圓與以橢圓長軸為直徑的圓相內切．（13分）
點評：本題考查橢圓離心率的求法，考查兩圓位置關系的判斷．具體涉及到橢圓和圓的簡單性質、點到直線的距離公式、兩點間的距離公式、兩圓的位置關系的判斷等基本知識點，是難題．