Question

已知中心在坐標軸原點O的橢圓C經過點A（1，

3

2

），且點F（-1，0）為其左焦點．
（Ⅰ）求橢圓C的離心率；
（Ⅱ）試判斷以AF為直徑的圓與以橢圓長軸為直徑的圓的位置關系，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）由橢圓C經過點A（1，

3

2

），且點F（-1，0）為其左焦點，知

c=1 2a=|AF|+|AF′|=4

，由此能求出橢圓的離心率．
（2）以橢圓長軸為直徑的圓的方程為x²+y²=4，以AF為直徑的圓的方程為x2+(y-

3

4

)2=

25

16

 ，由此能推導出以AF為直徑的圓與以橢圓長軸為直徑的圓相內切．

解答：解：（1）依題意，設橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
∵橢圓C經過點A（1，

3

2

），且點F（-1，0）為其左焦點，
∴橢圓的右焦點為F‘（1，0），
∴|AF|=

4+ 9 4

=

5

2

，|AF′|=

0+ 9 4

=

3

2

，
∴

c=1 2a=|AF|+|AF′|=4

，
∴a=2．c=1，
所以，離心率e=

c

a

=

1

2

．（6分）
（2）由已知得，以橢圓長軸為直徑的圓的方程為x²+y²=4，
圓心坐標為（0，0），半徑為2，（8分）
以AF為直徑的圓的方程為x2+(y-

3

4

)2=

25

16

 ，
圓心坐標為（0，

3

4

），半徑為

5

4

，（10分）
由于兩圓心之間的距離為

(0-0)2+( 3 4 -0)2

=

3

4

=2-

5

4

，
故以AF為直徑的圓與以橢圓長軸為直徑的圓相內切．（13分）

點評：本題考查橢圓離心率的求法，考查兩圓位置關系的判斷．具體涉及到橢圓和圓的簡單性質、點到直線的距離公式、兩點間的距離公式、兩圓的位置關系的判斷等基本知識點，是難題．