Question

如圖，已知橢圓的離心率為，其右焦點F是圓（x-1）²+y²=1的圓心．
（1）求橢圓方程；
（2）過所求橢圓上的動點P作圓的兩條切線分別交y軸于M（0，m），N（0，n）兩點，當時，求此時點P的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）先利用圓心坐標求出焦點坐標以及c值，再利用離心率求出a，即可求出橢圓方程．
（2）先利用條件求出直線PM的方程，再利用直線PM與圓相切求出m與點P坐標之間的關系，同樣求出n與點P坐標之間的關系，再把所求代入已知并利用點P在橢圓上，可以求出點P的坐標．
解答：解：（1）因為圓（x-1）²+y²=1的圓心是（1，0），
所以橢圓的右焦點為F（1，0），
∴橢圓的離心率是，
∴
∴a²=2，b²=1，所以橢圓方程為．（4分）
（2）設P（x，y），
由，
得或（舍），
∴．（5分）
直線PM的方程：，
化簡得（y-m）x-xy+xm=0．
又圓心F（1，0）到直線PM的距離為1，
∴
∴（y-m）²+x²=（y-m）²+2xm（y-m）+x²m²
化簡得：（x-2）m²+2ym-x=0，（7分）
同理：（x-2）n²+2yn-x=0，（9分）
∴=
∵P（x，y）在橢圓上∴
∴，（11分）
∴，∴（舍）或∴
所以，此時點P的坐標是．（12分）．
點評：本題的易錯點在與忘記看點P所在位置，而把兩個結果都要．