Question

（本小題滿分13分）

  如圖，已知橢圓的離心率為，以該橢圓上的點和橢圓的

  左、右焦點為頂點的三角形的周長為.一等軸雙曲線的頂點是該橢

  圓的焦點，設為該雙曲線上異于頂點的任一點，直線和與橢圓的交點

  分別 為和

   （Ⅰ）求橢圓和雙曲線的標準方程； 

   （Ⅱ）設直線、的斜率分別為、，證明；

   （Ⅲ）是否存在常數，使得恒成立？

      若存在，求的值；若不存在，請說明理由.

                                                             

Answer 1

【解析】（Ⅰ）由題意知，橢圓離心率為，得，又，所以可解得，，所以，所以橢圓的標準方程為；所以橢圓的焦點坐標為（，0），因為雙曲線為等軸雙曲線，且頂點是該橢圓的焦點，所以該雙曲線的標準方程為。

（Ⅱ）設點P（，），則=，=，所以=，又點P（，）在雙曲線上，所以有，即，所以=1。

（Ⅲ）假設存在常數，使得恒成立，則由（Ⅱ）知，所以設直線AB的方程為，則直線CD的方程為，由方程組消y得：，設，，

則由韋達定理得：

所以|AB|==，同理可得

|CD|===，

又因為，所以有=+

=，所以存在常數，使得恒成