Question

如圖，已知橢圓的離心率為，且經過點平行于的直線在軸上的截距為，與橢圓有A、B兩個

不同的交點

   （Ⅰ） 求橢圓的方程；

    (Ⅱ)  求的取值范圍；                              

   （III）求證:直線、與軸始終圍成一個等腰三角形．

 

Answer 1

【答案】

 

【解析】本小題主要考查橢圓的標準方程,直線與橢圓的位置關系,考查轉化與化歸的思想方法,以及學生的運算能力.

解：（Ⅰ）設橢圓方程為………1分

離心率為所以,可得        

由經過點,

解得,…………………………3分

∴橢圓方程為……………………………4分

（Ⅱ）∵直線平行于，且在軸上的截距為

又

……………………………………………………5分

由……………………………………6分

∵直線l與橢圓交于A、B兩個不同點，

（III）設直線MA、MB的斜率分別為k₁，k₂，只需證明k₁+k₂=0即可…………9分

設 則

由

……………………………………………………10分

而

故直線MA、MB與x軸始終圍成一個等腰三角形.……………………14分