Question

【題目】已知函數．

（1）對于實數，，若，有，求證：方程有兩個不相等的實數根；

（2）若，函數，求函數在區間上的最大值和最小值；

（3）若存在實數，使得對于任意實數，都有，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析，（2）見解析，（3）

【解析】

（1）通過計算一元二次方程的判別式大于0，可得方程有兩個不相等的實數根；

（2）化簡函數，數形結合求函數的最值；

（3）令，,結合二次函數的圖像與性質可得結果.

（1），

∴

整理得：

∴

∵x1，x2∈R，x1＜x2，

∴△＞0，

故方程有兩個不相等的實數根．

（2）,

作出其函數圖象為：

當時，在上單調遞增，

∴，；

令，又，∴，

∴當時，，；

當時，，；

綜上：當或時，，；

當時，，；

（3）由題意可得，

令，

∴，

∴對稱軸 ，

∴，

記

，

∴，

求根公式得：

∴

∴即，

故實數的取值范圍