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已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足:Sn=2an+(-1)n,n≥1.
(1)寫出求數(shù)列{an}的前3項(xiàng)a1,a2,a3;
(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(3)證明:對任意的整數(shù)m>4,有
【答案】分析:(1)是考查已知遞推公式求前幾項(xiàng),屬于基礎(chǔ)題,需注意的是S1=a1,需要先求出a1才能求出a2,這是遞推公式的特點(diǎn).
(2)的解答需要利用公式進(jìn)行代換,要注意n=1和n≥2的討論,在得到an=2an-1+2(-1)n-1,可以設(shè)構(gòu)造一個等比數(shù)列;
(3)的解答需要在代換后,適當(dāng)?shù)淖冃,利用不等式放縮法進(jìn)行放縮.
解答:解:(1)當(dāng)n=1時,有:S1=a1=2a1+(-1)⇒a1=1;
當(dāng)n=2時,有:S2=a1+a2=2a2+(-1)2⇒a2=0;
當(dāng)n=3時,有:S3=a1+a2+a3=2a3+(-1)3⇒a3=2;
綜上可知a1=1,a2=0,a3=2;
(2)由已知得:an=Sn-Sn-1=2an+(-1)n-2an-1-(-1)n-1
化簡得:an=2an-1+2(-1)n-1
上式可化為:
故數(shù)列{}是以為首項(xiàng),公比為2的等比數(shù)列.

數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為:
(3)由已知得:=====
(m>4).
點(diǎn)評:本題考查的遞推數(shù)列較為典型,對公式的應(yīng)用是高考考查的重點(diǎn),要能熟練的應(yīng)用.另外本題(2)中對構(gòu)造數(shù)列的考查較好,(3)中不等式證明中的放縮是一個難點(diǎn),需要有扎實(shí)的基本功及一定的運(yùn)算能力,對運(yùn)算放縮能力要求較高.
練習(xí)冊系列答案
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(1)求數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng)公式;
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