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已知定義域為的函數f(x)，對于任意x，y∈時，恒有f(xy)＝f(x)＋f(y)．

(Ⅰ)求f(1)；

(Ⅱ)求證：當x∈時，f()＝－f(x)；

(Ⅲ)若x＞1時，恒有f(x)＜0，判斷f(x)在上的單調性，并用函數單調性的定義證明你的結論．

答案：
解析：

(Ⅰ)解：令x＝y＝1，

　　則f(1)＝f(1)＋f(1)

　　∴f(1)＝0．

(Ⅱ)證明：令y＝，

　　則f(x)＋

　　由(Ⅰ)知f(1)＝0，

　　∴．

　　∴當x∈時，f()＝－f(x)．

(Ⅲ)證明：設，

　　則＞1．

　　故

　　　　　　　　

　　∴f(x)在定義域上是單調遞減函數．


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•威海二模）函數f（x）的定義域為A，若存在非零實數t，使得對于任意x∈C（C⊆A）有x+t∈A，且f（x+t）≤f（x），則稱f（x）為C上的t度低調函數．已知定義域為的函數f（x）=-|mx-3|，且f（x）為[0，+∞）上的6度低調函數，那么實數m的取值范圍是（　　）

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科目：高中數學 來源： 題型：單選題

函數f（x）的定義域為A，若存在非零實數t，使得對于任意x∈C（C⊆A）有x+t∈A，且f（x+t）≤f（x），則稱f（x）為C上的t度低調函數．已知定義域為的函數f（x）=-|mx-3|，且f（x）為[0，+∞）上的6度低調函數，那么實數m的取值范圍是


  1. A.
    [0，1]
  2. B.
    [1，+∞）
  3. C.
    （-∞，0]
  4. D.
    （-∞，0]∪[1，+∞）

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科目：高中數學 來源：2012年山東省威海市高考數學二模試卷（理科）（解析版） 題型：選擇題

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A．[0，1]
B．[1，+∞）
C．（-∞，0]
D．（-∞，0]∪[1，+∞）

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科目：高中數學 來源：2012年山東省威海市高考數學二模試卷（文科）（解析版） 題型：選擇題

函數f（x）的定義域為A，若存在非零實數t，使得對于任意x∈C（C⊆A）有x+t∈A，且f（x+t）≤f（x），則稱f（x）為C上的t度低調函數．已知定義域為的函數f（x）=-|mx-3|，且f（x）為[0，+∞）上的6度低調函數，那么實數m的取值范圍是（ ）
A．[0，1]
B．[1，+∞）
C．（-∞，0]
D．（-∞，0]∪[1，+∞）

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