Question

已知平面內的向量

OA

，

OB

滿足：|

OA

|=2，（

OA

+

OB

）•（

OA

-

OB

）=0，且

OA

⊥

OB

，又

OP

=λ₁

OA

+λ₂

OB

，0≤λ₁≤1，1≤λ₂≤2，那么由滿足條件的點P所組成的圖形的面積是（　　）

• A、1
• B、2
• C、4
• D、8

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算

專題：平面向量及應用

分析：由條件可得，|

OA

|=|

OB

|=2，不妨以O為原點，以OA方向為x軸正方向，以OB方向為Y軸正方向建立坐標系，則

OA

=（2，0），

OB

=（0，2），求得

OP

=（x，y）=（2λ₁，2λ₂），可得0＜x≤2，2≤y≤4，其表示的平面區域如圖，從而求得陰影部分的面積．

解答： 解：∵|

OA

|=2，（

OA

+

OB

）•（

OA

-

OB

）=

OA

2-

OB

2=0，∴|

OA

|=|

OB

|=2．
根據

OA

⊥

OB

，不妨以O為原點，以OA方向為x軸正方向，以OB方向為Y軸正方向建立坐標系，
則

OA

=（2，0），

OB

=（0，2），
又

OP

=λ₁

OA

+λ₂

OB

，0≤λ₁≤1，1≤λ₂≤2，設

OP

=（x，y），則

OP

=（2λ₁，2λ₂），∴0≤x≤2，2≤y≤4，
其表示的平面區域如下圖示：
由圖可知陰影部分的面積為4，
故選：C．

點評：本題主要考查兩個向量的加減法的法則，以及其幾何意義，兩個向量坐標形式的運算，關鍵是正確地畫出平面區域，然后結合有關面積公式求解，屬于基礎題．