Question

（12分）已知橢圓C1：+=1（0＜a＜，0＜b＜2）與橢圓C2：+=1有相同的焦點．直線L：y=k（x+1）與兩個橢圓的四個交點，自上而下順次記為A、B、C、D．

（Ⅰ）求線段BC的長（用k和a表示）；

（Ⅱ）是否存在這樣的直線L，使線段AB、BC、CD的長按此順序構成一個等差數列．請說明詳細的理由．

 

 

Answer 1

（Ⅰ）BC=．

（Ⅱ）見解析

【解析】

試題分析：（Ⅰ）聯立，得（k2a2+b2）x2+2k2a2x2+k2a2﹣a2b2=0，由此能求出線段BC的長．

（Ⅱ）由（I）知，AD=，線段AB、BC、CD構成一個等差數列，得2BC=AB+CD，故3BC=AD，由此能求出存在這樣的直線L，使線段AB、BC、CD的長按此順序構成一個等差數列．

【解析】
（Ⅰ）聯立，

得（k2a2+b2）x2+2k2a2x2+k2a2﹣a2b2=0

所以BC==．

（Ⅱ）由（I）知，AD=，

線段AB、BC、CD構成一個等差數列，

可得2BC=AB+CD，故3BC=AD，

3=，

=≥0，

即：≥0．

由于a＞1，故．

所以，當時，存在這樣的直線L，使線段AB、BC、CD的長按此順序構成一個等差數列．