Question

已知函數(shù)．
（1）如果a＞0，函數(shù)在區(qū)間上存在極值，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）當x≥1時，不等式恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）因為，x＞0，x＞0，則，利用函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，a+）（其中a＞0）上存在極值，能求出實數(shù)a的取值范圍．
（2）不等式，即為，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)知識能求出實數(shù)k的取值范圍．
解答：解：（1）因為，x＞0，則，（1分）
當0＜x＜1時，f'（x）＞0；
當x＞1時，f'（x）＜0．
所以f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增；在（1，+∞）上單調(diào)遞減，所以函數(shù)f（x）在x=1處取得極大值．
因為函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，a+）（其中a＞0）上存在極值，
所以解得．
（2）不等式，即為，記，
所以=
令h（x）=x-lnx，
則，∵x≥1，∴h'（x）≥0，∴h（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，∴[h（x）]_min=h（1）=1＞0，
從而g'（x）＞0，
故g（x）在[1，+∞）上也單調(diào)遞增，所以[g（x）]_min=g（1）=2，
所以k≤2．
點評：本題考查極值的應用，應用滿足條件的實數(shù)的取值范圍的求法．解題時要認真審題，仔細解答，注意構(gòu)造法和分類討論法的合理運用．