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【題目】如圖,在直四棱柱中,底面為菱形,,的中點.

1)證明:平面;

2)若,,求二面角的正弦值.

【答案】1)證明見解析(2

【解析】

1)由等腰三角形三線合一的性質可得,再由四棱柱是直四棱柱,可得,根據線面垂直的判定定理判斷可得;

2)建立空間直角坐標系,利用空間向量法求二面角的余弦值;

解:(1)證明:∵,,∴是等邊三角形,

的中點,∴.

∵四棱柱是直四棱柱,∴平面.

平面,∴.

,且平面,平面,

平面.

2)解:取的中點,則,由(1)知,直線,,兩兩相互垂直,如圖,以為原點,分別以,,所在直線為,,軸,建立空間直角坐標系.,,

,,.

設平面的一個法向量為,

,即,

,則,可得,.

設平面的一個法向量為,則,即,

,則,可得,.

,從而,

即二面角的正弦值為.

練習冊系列答案
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(2)若是曲線上的動點,求的取值范圍.

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