【題目】如圖，在直四棱柱
中，底面
為菱形，
，
是
的中點.
（1）證明：
平面
；
（2）若
，
，求二面角
的正弦值.
【答案】（1）證明見解析（2）
【解析】
（1）由等腰三角形三線合一的性質可得
，再由四棱柱
是直四棱柱，可得
，根據線面垂直的判定定理判斷可得；
（2）建立空間直角坐標系，利用空間向量法求二面角的余弦值；
解：（1）證明：∵
，
，∴
是等邊三角形，
∴
是
的中點，∴.
∵四棱柱是直四棱柱，∴
平面
.
∵
平面，∴.
∵
，且
平面
，
平面，
∴
平面.
（2）解：取
的中點
，則
，由（1）知，直線
，
，
兩兩相互垂直，如圖，以為原點，分別以，，所在直線為
，
，
軸，建立空間直角坐標系
.則
，
，
，
，
∴
，
，
.
設平面
的一個法向量為
，
則
，即
，
令
，則
，
，可得
，
.
設平面
的一個法向量為
，則
，即
，
令
，則
，
，可得
，
.
∴
，從而
，
即二面角
的正弦值為.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在平面直角坐標系
中，已知直線
：
，拋物線
：
（
）．
（1）若直線過拋物線的焦點，求拋物線的方程；
（2）已知拋物線上存在關于直線對稱的相異兩點
和
．
①求證：線段PQ的中點坐標為
；
②求
的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】將所有的正奇數按以下規律分組，第一組：1；第二組：3，5，7；第三組：9，11，13，15，17；…
表示n是第i組的第j個數，例如
，
，則
（ ）
A.
B.
C.
D.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知圓
，直線
.圓
與
軸交于
兩點，
是圓上不同于的一動點，
所在直線分別與
交于
.
（1）當
時，求以
為直徑的圓的方程；
（2）證明：以為直徑的圓截軸所得弦長為定值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平行四邊形
中，
，
，過
點作
的垂線，交的延長線于點
，
.連結
，交
于點
，如圖1，將
沿折起，使得點到達點
的位置，如圖2.
（1）證明：平面
平面
；
（2）若
為
的中點，
為的中點，且平面
平面，求三棱錐
的體積.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在直角坐標系
中,直線
的參數方程為
(
為參數),在以坐標原點為極點,
軸的正半軸為極軸的極坐標系中,曲線
.
(1)判斷直線與曲線
的位置關系;
(2)若
是曲線上的動點,求
的取值范圍.
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