Question

【題目】設區間，定義在上的函數（），集合．

（1）若，求集合；

（2）設常數．

① 討論的單調性；

② 若，求證：．

Answer 1

【答案】（1）（2）①見解析；②見證明

【解析】

（1）把b代入函數解析式，求出導函數，由f′（x）0，可知f（x）在[﹣3，3]上為增函數，求出函數的最小值，由最小值大于0求得a的取值范圍；

（2）①求出函數的導函數，解得導函數的零點，然后根據與3的關系分類求得函數的單調區間；

②當b＜﹣1時，由①可知，當0＜a時，求得函數的最小值小于0，得到矛盾，故此時實數a不存在；當a時，由①可得f（x）min＝{f（﹣3），f（）}，得到f（﹣3）＜0，這與x∈D，f（x）≥0恒成立矛盾，故此時實數a不存在；若f（﹣3）＞0，證明f（）＜0，這與x∈D，f（x）≥0恒成立矛盾，故此時實數a不存在．

（1）當時，，則．

由可知恒成立，故函數在上單調遞增，

所以，解得，

所以集合

（2）① 由得，

因為，則由，得．

在上列表如下：

	＋	0	－	0	＋
	單調遞增	極大值	單調遞減	極小值	單調遞增

（ⅰ）當，即時，

則，所以在上單調遞減；

（ⅱ）當，即時，此時，

在和上單調遞增；在上單調遞減．

綜上，當時，在上單調遞減；

當時，在，上單調遞增；

在上單調遞減

②（方法一）當時，由①可知，

（ⅰ）當時，在上單調遞減，

所以，

這與恒成立矛盾，故此時實數不存在；

（ⅱ）當時，在，上單調遞增；

在上單調遞減，

所以．

若，這與恒成立矛盾，

故此時實數不存在；

若，此時，

又，則，

．

下面證明，也即證：．

因為，且，則，

下證：．

令，則，

所以在上單調遞增，所以，即．

這與恒成立矛盾，故此時實數不存在．

綜上所述，．

（方法二）（ⅰ）當時，成立；

（ⅱ）當時，由題意可知恒成立，則，

設，則，

令，解得．

因為，所以，

所以在上單調遞增，在上單調遞減，

所以，所以；

（ⅲ）當時，由題意可知恒成立，則．

設，則，

因為，所以恒成立，所以在上單調遞增，

所以，

所以．

若，則存在實數滿足，

則成立，即，

也即成立，

則，這與矛盾，所以．