【題目】設函數
.
（1）討論
的單調區間；
（2）證明：若
，對任意的
，有
．
【答案】（1）見解析（2）見解析
【解析】
（1）先求導得到
，令
，通過對判別式
的討論得到
的單調區間；（2）不妨設
，要證明
，只需證明
，令
再利用導數證明
即得證.
（1）
令
當
時，即
時，
恒成立，
所以的單調增區間是
，無減區間.
當
時，即
或
，
設
的兩個零點為
，
若，因為
，所以
都大于0，
所以當
時
，單調遞增
當
時
，單調遞減
當
時，單調遞增
若，
，當
即
時，都不為正數，所以當
時，單調遞增.
當
時，即
時，
，
所以當
時，單調遞減
當時，單調遞增.
綜上所述，當時，
的單調遞減區間為
，的單調遞增區間為
，
當
時，的單調增區間是，無減區間.
當時，的單調遞減區間為
的單調遞增區間為
，
（2）不妨設，要證明，只需證明
，只需證明
令
因為
，所以
，
在是增函數，所以時，
即.
閱讀快車系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】圓心在曲線
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】改革開放以來，人們的支付方式發生了巨大轉變．近年來，移動支付已成為主要支付方式之一．為了解某校學生上個月A，B兩種移動支付方式的使用情況，從全校學生中隨機抽取了100人，發現樣本中A，B兩種支付方式都不使用的有5人，樣本中僅使用A和僅使用B的學生的支付金額分布情況如下：
支付方式 | （0,1000] | （1000,2000] | 大于2000 |
僅使用A | 18人 | 9人 | 3人 |
僅使用B | 10人 | 14人 | 1人 |
（Ⅰ）從全校學生中隨機抽取1人，估計該學生上個月A，B兩種支付方式都使用的概率；
（Ⅱ）從樣本僅使用A和僅使用B的學生中各隨機抽取1人，以X表示這2人中上個月支付金額大于1000元的人數，求X的分布列和數學期望；
（Ⅲ）已知上個月樣本學生的支付方式在本月沒有變化．現從樣本僅使用A的學生中，隨機抽查3人，發現他們本月的支付金額都大于2000元．根據抽查結果，能否認為樣本僅使用A的學生中本月支付金額大于2000元的人數有變化？說明理由．
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