Question

【題目】已知某家企業的生產成本z（單位：萬元）和生產收入ω（單位：萬元）都是產量x（單位：t）的函數，其解析式分別為：z=x3﹣18x2+75x﹣80，ω=15x
（1）試寫出該企業獲得的生產利潤y（單位：萬元）與產量x（單位：t）之間的函數解析式；
（2）當產量為多少時，該企業能獲得最大的利潤？最大利潤是多少？

Answer 1

【答案】
（1）解：∵生產成本z（單位：萬元）

和生產收入ω（單位：萬元）都是產量x（單位：t）的函數，

其解析式分別為：z=x3﹣18x2+75x﹣80，ω=15x

∴該企業獲得的生產利潤y（單位：萬元）與產量x（單位：t）之間的函數解析式：

y=﹣x3+18x2﹣60x+80（x≥0）

（2）解：∵y=﹣x3+18x2﹣60x+80（x≥0），

∴y′=﹣3x2+36x﹣60，

由y′=0，得x=2或x=10，

當x∈[0，2）時，y′＜0；當x∈[2，10）時，y′＞0；

當x∈（10，+∞）時，y′＜0，

∴f（x）極大值=f（10）=280．

∴產量為10t時該企業能獲得最大的利潤，最大利潤為280萬元

【解析】（1）由題意，利用銷售收入減去生產成本，可得生產利潤函數；（2）求導函數，確定函數的單調性，即可求得函數的最大值．