Question

已知Rt△ABC中，∠C=90°．AC=3，BC=4，P為線段AB上的點，且

CP

=x•

CA

| CA |

+y•

CB

| CB |

，則xy的最大值為（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考點：平面向量的基本定理及其意義

專題：平面向量及應用

分析：想著用一個變量來表示x，y，

CP

=

CA

+

AP

，

AP

和

AB

共線，根據(jù)共線向量基本定理存在λ使

AP

=λ

AB

=λ(

CB

-

CA

)，所以

CP

=(1-λ)

CA

+λ

CB

，所以便得到：

x

3

=1-λ，

y

4

=λ，從而解出x，y帶入xy即可得到關(guān)于λ的函數(shù)，求這個函數(shù)的最大值即可．

解答：解：

CP

=

CA

+

AP

=

CA

+λ

AB

=

CA

+λ(

CB

-

CA

)=(1-λ)

CA

+λ

CB

（0≤λ≤1）；

CP

=

x

3

CA

+

y

4

CB

∴

1-λ= x 3 λ= y 4

；
∴xy=12（1-λ）λ=-12(λ-

1

2

)2+3≤3
當λ=

1

2

時取“=“；
∴xy的最大值是3．
故選C．

點評：找到一個變量來表示x，y是求解本題的關(guān)鍵，本題考查向量的加法運算，共線向量基本定理，共面向量基本定理，二次函數(shù)的最值．