Question

設實系數一元二次方程x²+ax+2b-2=0有兩個相異實根，其中一根在區間（0，1）內，另一根在區間（1，2）內，則

b-4

a-1

的取值范圍是（　　）

• A、[-

  1

  7

  ，0）
• B、（

  1

  2

  ，

  3

  2

  ）
• C、（-∞，-

  1

  7

  ）
• D、（1，

  3

  2

  ）

Answer 1

考點：一元二次方程的根的分布與系數的關系

專題：函數的性質及應用

分析：設f（x）=x²+ax+2b-2，由題意可得

f(0)=2b-2＞0 f(1)=a+2b-1＜0 f(2)=2a+2b+2＞0

，畫出滿足條件的點（a，b）構成的可行域，而

b-4

a-1

表示可行域內的點（a b）與點M（1，4）連線的斜率，數形結合求得

b-4

a-1

的范圍．

解答：解：設f（x）=x²+ax+2b-2，由題意可得

f(0)=2b-2＞0 f(1)=a+2b-1＜0 f(2)=2a+2b+2＞0

，故滿足條件的點（a，b）構成的可行域即

b＞1 a+2b＜1 a+b＞-1

．
而

b-4

a-1

表示可行域內的點（a b）與點M（1，4）連線的斜率，如圖所示：
求得A（-1，-1）、B（-2，1）、C（-3，2），
則

b-4

a-1

的最小值趨于MC直線的斜率

4-2

1+3

=

1

2

，即

b-4

a-1

的最大值趨于MA直線的斜率

4-1

1+1

=

3

2

，
故則

b-4

a-1

的范圍是 （

1

2

，

3

2

），
故選：B．

點評：本題主要考查簡單的線性規劃問題，直線的斜率公式，一元二次方程根的分布與系數的關系，屬于基礎題．