Question

過點P（2，-2）和曲線y=3x-x³相切的直線方程為

9x+y-16=0或y=-2

．

Answer 1

分析：先考慮點（2，-2）是切點的情形，求出切線方程，然后設切點為（x₀，y₀），根據切點與點（2，-2）的斜率等于切線的斜率建立等量關系，解之即可求出切點，從而求出切線方程．

解答：解：設直線l：y+2=k（x-2）．∵y′=3-3x²，∴y′|_x=2=-9，
又∵直線與曲線均過點（2，-2），于是直線y+2=k（x-2）與曲線y=3x-x³相切于切點（2，-2）時，k=-9．
若直線與曲線切于點（x₀，y₀）（x₀≠2），則k=

y0+2

x0-2

，∵y₀=3x₀-x₀³，
∴

y0+2

x0-2

=-x₀²-2x₀-1，
又∵k=y′|x=x₀=3-3x₀²，
∴-x₀²-2x₀-1=3-3x₀²，∴2x₀²-2x₀-4=0，
∵x₀≠2，∴x₀=-1，∴k=3-3x₀²=0，
故直線l的方程為9x+y-16=0或y=-2．
故答案為：9x+y-16=0或y=-2．

點評：本題主要考查了利用導數研究曲線上某點切線方程，解題的關鍵注意過某點和在某點的區別，屬于中檔題．