Question

過點P（2，-2）和曲線y=3x-x³相切的直線方程為    ．

Answer 1

【答案】分析：先考慮點（2，-2）是切點的情形，求出切線方程，然后設切點為（x，y），根據切點與點（2，-2）的斜率等于切線的斜率建立等量關系，解之即可求出切點，從而求出切線方程．
解答：解：設直線l：y+2=k（x-2）．∵y′=3-3x²，∴y′|_x=2=-9，
又∵直線與曲線均過點（2，-2），于是直線y+2=k（x-2）與曲線y=3x-x³相切于切點（2，-2）時，k=-9．
若直線與曲線切于點（x，y）（x≠2），則k=，∵y=3x-x³，
∴=-x²-2x-1，
又∵k=y′|x=x=3-3x²，
∴-x²-2x-1=3-3x²，∴2x²-2x-4=0，
∵x≠2，∴x=-1，∴k=3-3x²=0，
故直線l的方程為9x+y-16=0或y=-2．
故答案為：9x+y-16=0或y=-2．
點評：本題主要考查了利用導數研究曲線上某點切線方程，解題的關鍵注意過某點和在某點的區別，屬于中檔題．