Question

已知函數f(x)=

3

sin(2x-

π

6

)+2sin2(x-

π

12

)(x∈R)
（1）求函數f（x）的最小正周期；
（2）求使函數f（x）取得最大值的x集合；
（3）若θ∈(0，

π

2

)，且f(θ)=

5

3

，求cos4θ的值．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角的三角函數公式結合輔助角公式，整理得f（x）=2sin（2x-

π

3

）+1，結合三角函數的周期公式即可得到
f（x）的最小正周期；
（2）根據正弦函數的圖象與性質，解方程2x-

π

3

=

π

2

+2kπ（k∈Z），即可得到函數f（x）取得最大值的x集合；
（3）代入計算，得sin（2θ-

π

3

）=

1

3

，結合θ∈(0，

π

2

)得2θ-

π

3

∈（-

π

3

，

2π

3

），從而得到cos（2θ-

π

3

）=

2 2

3

．再利用配角，算出cos2θ=cos[（2θ-

π

3

）+

π

3

]=

2 2 - 3

6

，最后結合二倍角余弦的公式即可得到cos4θ的值．

解答：解：（1）∵sin²（x-

π

12

）=

1

2

[1-cos2（x-

π

12

）]=

1

2

-

1

2

cos（2x-

π

6

）
∴f（x）=

3

sin（2x-

π

6

）+[1-cos（2x-

π

6

）]
=2[sin（2x-

π

6

）cos

π

6

-cos（2x-

π

6

）sin

π

6

]+1
=2sin（2x-

π

3

）+1
由此可得函數f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π
（2）∵x∈R，∴當2x-

π

3

=

π

2

+2kπ（k∈Z）時，函數有最大值為3
解之得x=

5π

12

+kπ（k∈Z），
得f（x）取得最大值的x集合為{x|x=

5π

12

+kπ（k∈Z）}
（3）f(θ)=

5

3

即2sin（2θ-

π

3

）+1=

5

3

解之得sin（2θ-

π

3

）=

1

3

∵θ∈(0，

π

2

)，得2θ-

π

3

∈（-

π

3

，

2π

3

）
∴根據sin（2θ-

π

3

）=

1

3

＜

1

2

，得2θ-

π

3

∈（0，

π

6

）
因此cos（2θ-

π

3

）=

1-( 1 3 )2

=

2 2

3

∴cos2θ=cos[（2θ-

π

3

）+

π

3

]=

2 2

3

×

1

2

-

1

3

×

3

2

=

2 2 - 3

6

cos4θ=2cos²2θ-1=2（

2 2 - 3

6

）²-1=

-7-4 6

18

點評：本題給出三角函數表達式，求函數的最小正周期并求函數的最值，著重考查了三角恒等變形、三角函數的圖象與性質等知識點，屬于中檔題．