Question

（本題滿分16分） 已知橢圓：的離心率為，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，若橢圓的焦距為2．

 ⑴求橢圓的方程；

⑵設(shè)為橢圓上任意一點(diǎn)，以為圓心，為半徑作圓，當(dāng)圓與橢圓的右準(zhǔn)線有公共點(diǎn)時(shí)，求△面積的最大值．

 

Answer 1

【答案】

⑴．⑵ ．

【解析】(1)由離心率和b值，不難求出a,從而方程易求。

(2)在（1）的基礎(chǔ)上，可知由于圓與有公共點(diǎn)，所以到 的距離小于或等于圓的半徑．因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070911291031208062/SYS201207091129520620137486_DA.files/image007.png">，所以，

即 ．然后再借助橢圓方程，消y₀轉(zhuǎn)化為求解即可。

解：⑴因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070911291031208062/SYS201207091129520620137486_DA.files/image011.png">，且，所以．……………………………………2分

所以．………………………………………………………………………………4分

所以橢圓的方程為．……………………………………………………6分

⑵設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則．

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070911291031208062/SYS201207091129520620137486_DA.files/image018.png">，，所以直線的方程為．………………………………8分

由于圓與有公共點(diǎn)，所以到 的距離小于或等于圓的半徑．

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070911291031208062/SYS201207091129520620137486_DA.files/image007.png">，所以，………………10分

即 ．

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070911291031208062/SYS201207091129520620137486_DA.files/image021.png">，所以．…………………………12分

解得，又，∴．……………………………………14分

當(dāng)時(shí)，，所以 ．…………16分