Question

【題目】已知函數f(x)＝在點(1,1)處的切線方程為x＋y＝2.

(1)求a，b的值；

(2)對函數f(x)定義域內的任一個實數x，不等式f(x)－＜0恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1） （2）m的取值范圍是(1，＋∞).

【解析】試題分析：（1）先根據導數幾何意義得f′(1)＝－1，再根據 解得a，b的值；（2）先變量分離得 最大值，再利用導數研究函數單調性，進而得最大值，即得實數m的取值范圍．

試題解析：(1)由題f′(x)＝，

又直線x＋y＝2的斜率為－1.2分

∴f′(1)＝－1，即＝－1.3分

又(1,1)點在函數f(x)＝的圖象上，

故＝1，

由解得

(2)由(1)得f(x)＝ (x＞0)，由f(x)＜及x＞0＜m，8分

令g(x)＝

g′(x)＝

＝，

令h(x)＝1－x－ln xh′(x)＝－1－＜0(x＞0)，故h(x)在區間(0，＋∞)上是減函數，

故當0＜x＜1時，h(x)＞h(1)＝0，

當x＞1時，h(x)＜h(1)＝0.10分

從而當0＜x＜1時，g′(x)＞0，當x＞1時，

g′(x)＜g(x)在(0,1)是增函數，在(1，＋∞)是減函數.11分

故g(x)max＝g(1)＝1，要使＜m成立，只需m＞1，

故m的取值范圍是(1，＋∞).