Question

【題目】如圖，正四棱錐S－ABCD中，SA＝AB＝2，E，F，G分別為BC，SC，CD的中點．設P為線段FG上任意一點．

(1)求證：EP⊥AC；

(2)當P為線段FG的中點時，求直線BP與平面EFG所成角的余弦值．

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2)

【解析】試題分析：（1）先證AC⊥平面SBD，再證平面EFG∥平面BSD，即得AC⊥平面GEF，因此可得EP⊥AC；（2）過B作BH⊥GE于H，根據三垂線定理可得∠BPH就是直線BP與平面EFG所成的角．再解三角形可得直線BP與平面EFG所成角的余弦值．

試題解析：(1)證明　設AC交BD于O點，

∵S－ABCD為正四棱錐，

∴SO⊥底面ABCD，BD⊥AC，

又AC平面ABCD，

∴SO⊥AC，∵BD∩SO＝O，

BD平面SBD，SO平面SBD，

∴AC⊥平面SBD，

∵E，F，G分別為BC，SC，CD的中點，

∴FG∥SD，BD∥EG.

又FG∩EG＝G，SD∩BD＝D，

FG平面EFG，EG平面EFG，

SDBSD，BD平面BSD，

∴平面EFG∥平面BSD，

∴AC⊥平面GEF.

又∵PE平面GEF，∴PE⊥AC.

(2)解　過B作BH⊥GE于H，連接PH，

∵BD⊥AC，BD∥GH，

∴BH∥AC，

由(1)知AC⊥平面GEF，

則BH⊥平面GEF.

∴∠BPH就是直線BP與平面EFG所成的角．

在Rt△BHP中，BH＝，PH＝，PB＝，

故cos∠BPH＝＝.

點睛:垂直、平行關系證明中應用轉化與化歸思想的常見類型.

(1)證明線面、面面平行，需轉化為證明線線平行.

(2)證明線面垂直，需轉化為證明線線垂直.

(3)證明線線垂直，需轉化為證明線面垂直.