Question

已知函數（為自然對數的底數），（為常數），是實數集上的奇函數．

（1）求證：；

（2）討論關于的方程：的根的個數；

（3）設，證明：（為自然對數的底數）．

 

Answer 1

【答案】

（1）證明詳見解析.（2）；；.（3）證明詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）構造函數則，求出>0時x的取值，即函數h（x）的單調增區間，時x的取值，即函數h（x）的單調減區間，可得即即可.（2）由是 上的奇函數可得，構造函數求，根據導數的性質求出函數的單調區間，函數的最大值為，然后再根據直線y=m與函數的交點個數判斷原方程根的個數情況.（3）由（1）知,令，

試題解析：（1）證:令,令時

時,.  ∴

∴ 即.   4分

（2）為R上的奇函數，

令

   8分

。

（3）由（1）知,令，則，所以原式=++···++1，然后用縮放法證明即可.

于是，

∴=++···++1

++···++1=    .12分

考點：1.求函數的導數；2.導數的性質和函數的零根；3.不等式的證明.