Question

如果橢圓C和雙曲線C′具有相同的焦點，且它們的離心率互為倒數，則稱橢圓C是雙曲線C′的“伴生”橢圓，據此，焦點在x軸上，以y=±x為漸近線，且焦點到漸近線距離為1的雙曲線的“伴生”橢圓的方程是

x2

4

+

y2

2

=1

．

Answer 1

分析：由題意，焦點在x軸上，以y=±x為漸近線，且焦點到漸近線距離為1的雙曲線，可設其焦點為（±c，0），由點到直線的距離公式得1=

c

2

，解得c=

2

，從而得出a的值，解出雙曲線的離心率，再由定義得出橢圓的離心率，及焦點的坐標，由離心率公式即可解出a′=2，進而求出b′=

2

，寫出橢圓的標準方程即可

解答：解：由題意雙曲線的焦點在x軸上，可設焦點為（±c，0），又y=±x為漸近線，且焦點到漸近線距離為1
∴a=b且1=

c

2

，解得c=

2

，
∴a=b=1，故此雙曲線的離心率為

c

a

=

2

由定義知，其對應的橢圓的離心率為

2

2

又橢圓的焦點（±

2

，0），可得a′=2，從而b′=

2

故橢圓的標準方程為

x2

4

+

y2

2

=1
故答案為

x2

4

+

y2

2

=1

點評：本題考查圓錐曲線的共同特征，考察了橢圓與雙曲線的性質，解題的關鍵是理解定義，由定義得出橢圓的參數的值，本題考察了閱讀能力及推理判斷的能力，本部分題符號計算多，運算量大，解題時要認真嚴謹，避免馬虎出錯