Question

如果橢圓C和雙曲線C′具有相同的焦點，且它們的離心率互為倒數，則稱橢圓C是雙曲線C′的“伴生”橢圓，據此，焦點在x軸上，以y=±x為漸近線，且焦點到漸近線距離為1的雙曲線的“伴生”橢圓的方程是______．

Answer 1

由題意雙曲線的焦點在x軸上，可設焦點為（±c，0），又y=±x為漸近線，且焦點到漸近線距離為1
∴a=b且1=

c

2

，解得c=

2

，
∴a=b=1，故此雙曲線的離心率為

c

a

=

2

由定義知，其對應的橢圓的離心率為

2

2

又橢圓的焦點（±

2

，0），可得a′=2，從而b′=

2

故橢圓的標準方程為

x2

4

+

y2

2

=1
故答案為

x2

4

+

y2

2

=1