Question

17．《漢字聽寫大會》不斷創收視新高，為了避免“書寫危機”弘揚傳統文化，某市對全市10萬名市民進行了漢字聽寫測試，調查數據顯示市民的成績服從正態分布N（168，16）．現從某社區居民中隨機抽取50名市民進行聽寫測試，發現被測試市民正確書寫漢字的個數全部在160到184之間，將測試結果按如下方式分成六組：第一組[160，164），第二組[164，168），…，第六組[180，184），如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖．
（1）試評估該社區被測試的50名市民的成績在全市市民中成績的平均狀況及這50名市民成績在172個以上（含172個）的人數；
（2）在這50名市民中成績在172個以上（含172個）的人中任意抽取2人，該2人中成績排名（從高到低）在全市前130名的人數記為ξ，求ξ的數學期望．
參考數據：若η～N（μ，σ²），則P（μ-σ＜X＜μ+σ）=0.6826，P（μ-2σ＜X＜μ+2σ）=0.9544，P（μ-3σ＜X＜μ+3σ）=0.9974．

Answer 1

分析 （1）利用組中值代替本組數據計算平均值，和168比較得出結論；求出后3組的面積之和，再乘上總人數得出成績在172個以上（含172個）的人數；
（2）利用正態分布得出全市前130名的成績，得出50名社區居民中符合條件的人數，使用超幾何分布的概率公式得出分布列．

解答 解：（1）該社區50名市民的平均成績為162×0.05×4+166×0.07×4+170×0.08×4+174×0.02×4+178×0.02×4+182×0.01×4=168.72，
∴該社區被測試的50名市民的成績略高于全市市民的平均成績．
50名市民中成績在172個以上（含172個）的人數為50×（0.02+0.02+0.01）×4=10．
（2）∵P（168-3×4≤ξ＜168+3×4）=0.9974，∴P（ξ≥180）=$\frac{1}{2}$（1-0.9974）=0.0013，
∵0.0013×100 000=130．
∴全市前130名的成績在180個以上（含180個），
這50人中成績在180 個以上（含180個）的有2人．
∴隨機變量ξ的可能取值為0，1，2，
∴P（ξ=0）=$\frac{{C}_{8}^{2}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{28}{45}$，P（ξ=1）=$\frac{{C}_{8}^{1}{•C}_{2}^{1}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{16}{45}$，P（ξ=2）=$\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{1}{45}$，
∴E（ξ）=0×$\frac{28}{45}$+1×$\frac{16}{45}$+2×$\frac{1}{45}$=$\frac{2}{5}$．

點評 本題考查了頻率分布直方圖，正態分布與超幾何分布，屬于中檔題．