Question

已知橢圓的右焦點為，點在橢圓上．

（1）求橢圓的方程；
（2）點在圓上，且在第一象限，過作圓的切線交橢圓于,兩點，問：△的周長是否為定值？如果是，求出定值；如果不是，說明理由．

Answer 1

（1）；（2）詳見解析

解析試題分析：（1）根據點在曲線上可代入方程，再根據橢圓中，解方程組可得的值。從而可得橢圓方程。法二，還可根據橢圓的定義橢圓上點到兩焦點的距離為直接求得，再根據求。（2）設的方程為，根據與圓相切可得間的關系。再將直線與橢圓方程聯立消掉整理為關于的一元二次方程，可得根與系數的關系。由直線與圓錐曲線的相交弦公式可得，再根據兩點間距離可求，將三邊長相加，根據前邊得到的間的關系問題即可得證。
試題解析：（1）『解法1』：
(1)由題意，得，2分
解得4分
∴橢圓方程為.5分
『解法2』：
右焦點為，
左焦點為，點在橢圓上

所以，
所以橢圓方程為5分
（2）『解法1』：
由題意，設的方程為
∵與圓相切
∴，即6分
由，得7分
設，則，8分
∴
10分
又
 

∴11分
∴（定值）12分
『解法2』：
設，

8分
連接，由相切條件知：

10分
同理可求
所以為定值.12分
考點：1橢圓的標準方程；2直線和圓錐曲線的相交弦問題；3直線和圓的位置關系。