Question

已知拋物線C₁：y＝x²＋2x和C₂：y＝－x²＋a．如果直線l同時是C₁和C₂的切線，稱l是C₁和C₂的公切線，公切線上兩個切點之間的線段稱為公切線段．

(1)a取什么值時，C₁和C₂有且僅有一條公切線？寫出此公切線的方程．

(2)若C₁和C₂有兩條公切線，證明相應的兩條公切線段互相平分．

Answer 1

答案：
解析：

(1)解：函數y＝x2＋2x的導數＝2x＋2，曲線C1在點P(x1，＋2x1)的切線方程是y－(＋2x1)＝(2x1＋2)(x－x1)，即y＝(2x1＋2)x－．① 　　函數y＝－x2＋a的導數＝－2x，曲線C2在點Q(x2，＋a)的切線方程是y－(＋a)＝－2x2(x－x2)，即y＝－2x2x＋＋a．② 　　如果直線l是過P和Q的公切線，則①式和②式都是l的方程消去x2得方程2＋2x1＋1＋a＝0，此方程Δ＝4－4×2(1＋a)． 　　由Δ＝0，得a＝－，解得x1＝－，此時P與Q重合，即當a＝－時，C1和C2有且僅有一條公切線． 　　由①得公切線方程為y＝x－． 　　(2)證明：由(1)可知，當a＜－時，C1和C2有兩條公切線，設一條公切線上切點為P(x1，y1)、Q(x2，y2)，其中P在C1上，Q在C2上，則有x1＋x2＝－1，y1＋y2＝＋2x1＋(＋a)＝＋2x1－(x1＋1)2＋a＝－1＋a，線段PQ的中點為(－，)． 　　同理，另一條公切線段的中點也是(－，)， 　　所以公切線段PQ和互相平分。