Question

已知數列{a_n}的前n項的和為s_n=2ⁿ-1（n∈N⁺），數列{b_n}滿足b_n+2-2b_n+1+b_n=0（n∈N⁺），b₃=11，且其前9項的和為153．
（1）求數列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）設cn=

bn-2

3an

，數列{c_n}前n項的和為T_n，求使不等式Tn＞

k

2

對一切n∈N⁺都成立的所有正整數k．

Answer 1

分析：（1）由項與前n項和的關系a_n=s_n-s_n-1（n≥2），a₁=s₁，得a_n=2^n-1，由所給等式推出數列{b_n}為等差數列，由已知條件列方程組求出首項和公差，進而得數列{b_n}的通項公式；
（2）求（1）知數列{a_n}，{b_n}的通項公式，代入求出數列{c_n}的通項公式，由錯位相減法求出其前n項和，判斷T_n的增減性，求出最小項，代入不等式，求得正整數k．

解答：解：a_n=s_n-s_n-1=2ⁿ-1-（2^n-1-1）=2ⁿ-2^n-1=2^n-1（n≥2），
當n=1時，a₁=s₁=1，符合上式，∴a_n=2^n-1，
∵b_n+2-2b_n+1+b_n=0（n∈N⁺），
∴b_n+2+b_n=2b_n+1（n∈N⁺），
∴數列{b_n}為等差數列，
∴

b1+2d=11 9b1+ 9×8 2 d=153

得

b1=5 d=3

∴b_n=5+3（n-1）=3n+2．
（2）cn=

bn-2

3an

=

n

2n-1

，
∴T_n=

1

20

+

2

21

+

3

22

+…+

n-1

2n-2

+

n

2n-1

，

1

2

T_n=

1

21

+

2

22

+

3

23

+…+

n-1

2n-1

+

n

2n

，
∴

1

2

T_n=1+

1

21

+

1

22

+…+

1

2n-1

-

n

2n

=1+

1 2 (1-  ( 1 2 )n-1)

1- 1 2

-

n

2n

=2-

n+2

2n

∴Tn=4-

n+2

2n-1

，∵Tn+1-Tn=

n+1

2n

＞0，∴T_n遞增，
∴T_n＞T₁=1，∴

k

2

＜1?k＜2，因為k為正整數，所以k=1．

點評：用項與前n項和之間的關系，注意n=1的時候；已知數列為等差數列，求通項公式，求首項和公差即可；用錯位相減法求數列的前n項和，用時要觀察項的特征，是否是等差數列的項與等比數列的項的乘積．