Question

已知函數是定義在R上的偶函數，對于任意都成立；當，且時，都有．給出下列四個命題：①；②直線是函數圖象的一條對稱軸；③函數在上為增函數；④函數在上有335個零點．

其中正確命題的個數為（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

 

Answer 1

B

【解析】

試題分析：①：對于任意x∈R，都有f（x+6）=f （x）+f （3）成立，令x=-3，則f（-3+6）=f（-3）+f （3），即f（-3）=0，又因為f（x）是R上的偶函數，所以f（3）=0，即①正確；

②：由（1）知f（x+6）=f （x），所以f（x）的周期為6，又因為f（x）是R上的偶函數，所以f（x+6）=f（-x），而f（x）的周期為6，所以f（x+6）=f（-6+x），f（-x）=f（-x-6），

所以：f（-6-x）=f（-6+x），所以直線x=-6是函數y=f（x）的圖象的一條對稱軸，即②正確；

③：當x1，x2∈[0，3]，且x1≠x2時，都有，所以函數y=f（x）在[0，3]上為增函數，

因為f（x）是R上的偶函數，所以函數y=f（x）在[-3，0]上為減函數而f（x）的周期為6，所以函數y=f（x）在[-9，-6]上為減函數，故③錯誤；④：f（3）=0，f（x）的周期為6，函數y=f（x）在[0，3]上為增函數，在[3，6]上為減函數，所以：y=f（x）在[0，6]上只有一個零點3，而2014=335×6+3，所以，函數y=f（x）在[0，2014]上有335+1=336個零點，故④錯誤．故正確命題的個數為2個，故選：B．

考點：命題的真假判斷與應用．