Question

已知二面角α-l-β，點A∈α，B∈β，AC⊥l于點C，BD⊥l于D，且AC=CD=DB=1，求證：AB=2的充要條件α-l-β=120⁰．

Answer 1

分析：由已知中當α-l-β=120°時，我們不妨令

AC

=

a

，

CD

=

b

，

DB

=

c

，易得＜

a

，

b

＞=＜

b

，

c

＞=90°，＜

a

，

c

＞=60°，進而結合AC=CD=DB=1，可證得AB=2，即|

AB

|=2，從而證得充分性；反之，我們也可是證得當AB=2，即|

AB

|=2時，可得＜

a，

c

＞=60° ，進而根據二面角α-l-β為鈍二面角，可得α-l-β=120°，即證得必要性．

解答：證明：充分性：
設

AC

=

a

，

CD

=

b

，

DB

=

c

，
∵AC=CD=DB=1，
∴|

a

|=|

b

|=|

c

|=1，
又∵AC⊥l于點C，BD⊥l于D
∴＜

a

，

b

＞=＜

b

，

c

＞=90°，＜

a

，

c

＞=60°，
∴

a

2=

b

2=

c

2=1，

a

b

=

b

c

=0，

a

c

=

1

2

∴|

AB

|=

( a + b + c )2

=

a 2+ b 2+ c 2+2 a b +2 b c +2 a c

=2，
必要性：∵|

AB

|=

( a + b + c )2

=

a 2+ b 2+ c 2+2 a b +2 b c +2 a c

=2
又

a

2=

b

2=

c

2=1，

a

b

=

b

c

=0，
∴2

a

c

=1
∴＜

a，

c

＞=60° 
即α-l-β=120°

點評：本題考查的知識點是用空間向量求平面間的夾角，向量的模，其中熟練掌握充要條件的證明步驟，即及要證充分性又要證明必要性，是解答本題的關鍵．